meditations on pi

今天是3.14,所谓的Pi Day,借机发一下一直思考着的几个相关问题吧。

我的高中数学老师给出了一个有趣的问题, 咋一看是如此的简单以至于可以作为小学生的填空题: 1和0.9循环哪个大?很多人会不假思索的认为1要大那么一点点, 而事实上这两个值是严格的相等。可以这么证明:
1/3=0.3333….. 三分之一等与0.3循环,这个是我们都认为正确的结果,然后等号两边都乘以3
3 * 1/3 = 3 * 0.333333…… 就得出
1 = 0.999999……
这是一个让人惊讶的事实,跟我们的直觉不相符,但我们很容易接受推导过程。
推导过程中有一个小陷阱,就是把乘法自然而然的推广到了无穷项并且不认为有什么不妥。
为什么无穷项的表现总是让人觉得匪夷所思?

我们对数字以及相应的操作法则,必定源于大脑的思维模型,绝不仅仅是后天得到的知识那么简单,应该牵涉到了大脑的某种本质的先天性的结构相关的东西,数学是对这些基础法则的抽象表达和推导。

如果有一系列的个体,挨个排开,我们对每一个不同的个体用一个标记来代表它,比如第一个就是符号1,第二个符号就是2,这样我们就得到一个序列
1 2 3 4 5 6 7 ……..
我们说自然数序列是什么呢,就是无穷个体的一系列标签,我们对这个群体的若干操作,就是对物理世界若干个体的不同操作,被抽象出来加减乘除等法则。比如,大街上站着一个人,我们看到并认为如此,一些动物,比如狗可能也能察觉到,这时候又来了一个人,这时候我们认为,这跟刚才肯定不同,可能狗也这么认为。同时,树上有一只鸟,又飞过来一只,我们开始总结两者的共同之处并说:这两者在数量上是相同的。狗会怎么认为?可能我们并不知道,也许它有这种抽象能力只是无法表述出来。但大部分人会觉得从中抽象出来个体和计数跟人类的智能是绑定在一起的。

我们一开始教小学生数学,书上画着三个苹果下面写着3,画着三棵树下面写着3,画着三只蝴蝶下面写着3,然后老师告诉学生3,这是3,比来比去。小孩子很容易就接受理解了,并自发的产生并获得3这个概念。某些本质的东西,是没有办法解释的,就像我们教育小孩子一样,通过一系列的共同引发他们自己的抽象。人类大脑构建了某些基础性的东西,而我们后天向其中诱导灌输知识文明。

数字是一种抽象,自然中的个数在大脑中的某种表示。但对计算机来说,数字与自然界并没有任何关联,只不过是一组寄存器的状态,加减乘除也是硬编码的随着时钟周期变化状态的某些法则。所以我们认为通用图灵机随着外界输入改变并产生输出,只是状态变迁,跟钟表,复杂的齿轮结构,没有太多两样。智慧的本质也许并不仅仅是物质那么简单,可能会引入某些比如灵魂之类的更深刻的问题,先不跑题了。

整数的无穷序列,就是1,2,3…..跟我们所能感知到的物理世界,在大脑模型中似乎是对应的,无数个数目组成树林,无数的树叶,草,生物,都能通过这个序列一一对应上,就是数出来,光、烟雾之类的虽然不能数,但必定有另一类机制处理,我们说一朵云,一柱烟,抽象之后还是归类的这个序列上。

这个整数序列专业术语来讲就是可数集,我们认知上的物理世界是可数的。
通过人类对世界的认知思考,引入了新的问题,在一个二维平面内,到一个点距离相等的所有点的集合,我们称作圆,丈量这个闭合曲线的长度,引入一个我们无法表达的数字,就是pi,我们无法用数字形式表示出来它,因为它的后面有无穷个位数,3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307…一直写下去,从耗费时间的维度上是无限的,这跟图灵停机问题有些类似。
但是我们同样可以思维感知它,通过一个符号pi,我们就能思考处理它,并引入各种各样的算术操作表达式当中,大脑解决问题的模式似乎就是,概念的概念,任何问题都可以通过添加一层更高的抽象来解决,这可能跟神经元的连接模式有关。

任何整数的加减乘除表达式都可以写成小数的形式,比如前面说的1可以写成0.9循环,1/3可以写为0.3循环,等等,但是这些小数都有循环的规律。如果小数点后的不同位是任意的数字,我们就得到了一个更为诡异的大的数字系统,比如说0和1之间的所有小数,构成所谓的连续统,通常我们认为这个集合是不可数的,这个可以通过康托对角线法则来证明。
连续统以及相关的问题是个复杂的课题,牵涉到公理化集合论,连续统假设等。
单从一个无限不循环的小数后的数字序列来看,可以认为是一个可数集,而这些实数似乎有无穷个,无穷的无穷。我隐约的感觉这些似乎跟图灵停机问题、可计算性,甚至更深刻的智能的本原等有着异曲同工之处。

假如我们能够通过一个无穷的数字序列来描述一个原子的状态,比如动量、空间位置、电子轨道等信息,那么构成整个宇宙的所有原子,就能排成一串数字的序列,如果把时间划分成细片,就像时钟最短的嘀嗒,这一串数字在时间的维度上又构成一个序列。这个序列是否能描述我们的宇宙?或者说,这个序列能用实数集来表示么?还是需要比连续统更高的势?当然我们不可能得到每个原子的精确信息,这里只是想从另一个角度来看一下。

生命就是要在复杂的序列中找出某种规律,毫无规律的东西我们也不认为具有考虑的价值。pi是一种规律性的东西,虽然我们不能用有限的整数四则运算来表示它,但是可以用无穷级数来写出,如果引入一些三角函数和微积分等高级一点的算符,就更容易了,比如

或者

推导演算,这些怪异的数字就是这么得出来的,在一种表示下是有序的事物,但是到了另一种角度,却成了毫无意义的无穷序列,如果我们看一下自然界的一些现象也是如此,而智慧生命的本来意义就在于能从这些无序之中归类整理出来某些规律,这是生命的本质还是由之产生的属性?